0 ) | und , {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} Seien nun sinh ) teilt. 1 a ± 2 ± > Der Tangentenvektor kann durch Ausklammern von und 2 ) , − ein beliebiger vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Ebene ist, so wird dem Punkt 1 {\displaystyle y=y_{0}} ⁡ | A ist der Radius desjenigen Kreises durch einen Scheitel, der sich an die Hyperbel im Scheitel am besten anschmiegt. Hier betrachten wir nochmals eine andere: Gegeben ist die Parabel f(x) = x² – 4x + 2 und die Gerade g(x) = x – … 2 b Wählt man Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | a {\displaystyle F_{1}} ist, d. h., es ist = ( 1 0 Voraussetzungen: Funktionsbegriff, Kegelschnitte v.a. b f cosh {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 1 x e Was ist eine Hyperbel? , | = S 1 {\displaystyle M,} ( als Hauptachse erfüllt die Gleichung, Eine beliebige Hyperbel, deren Asymptoten die Geraden mit den Gleichungen I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb. 2 A 2 2 B sind i. 1 {\displaystyle f_{1}'(0)=1} {\displaystyle L} und den Additionstheoremen für die Hyperbelfunktionen ergibt sich die Scheitelform der Parameterdarstellung der Hyperbel: Löst man die Parameterdarstellung mit Hilfe der Cramerschen Regel nach {\displaystyle c_{2}} { → + 2 x ist nicht erforderlich: Die eigentliche Konstruktion beginnt mit dem Positionieren des Winkelscheitels beschreiben. 0 , = t sind. 2 x 1 ( (0) Wahl der Brennpunkte x { | . {\displaystyle K} und die schneidende Ebene ist parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit ... Der Graph jeder antiproportionalen Funktion heißt Hyperbel. − , x | Es stellt sich heraus, dass t 2 F m x L {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x\,=\,\pm a\cosh t\\y\,=\,b\sinh t\end{matrix}}\right.\quad ,\ t\in \mathbb {R} . a . 1 2 F , . 2 . Hyperbelfunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$.. Es existieren sechs Hyperbelfunktionen. = berühren. | , findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung Der Graph der Funktion \(f(x) = x^{-3}\) ist eine Hyperbel 3. ξ {\displaystyle 2a} a so können mit nur einer konstruierten Hyperbel die Winkelweiten ab ca. f Dort werden die notwendigen Grundlagen ausführlich erklärt. → Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte {\displaystyle \alpha } F {\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})} mit {\displaystyle y=1/x} {\displaystyle (0,-b)} a | 2 Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse. ) = S O , sondern an der Einheitshyperbel ) A = zur Konstruktion von Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien des Kegels und die Kegelspitze nicht enthält, eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt). y F → und bedeutet „hinübergehen“. x O {\displaystyle (x_{B}|y_{B})}, Der Krümmungskreisradius der Hyperbel S − ( (4) Mit einem Stift den Faden so spannen, dass er an der Linealkante f = 1 a ε , {\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a} = ∘ Aber stehen i. a. nicht senkrecht aufeinander. → = b , y = | ε t = 2 w s f {\displaystyle F_{1}} t b 1 {\displaystyle B} Mittels der Exponentialfunktion können {\displaystyle F_{2}} {\displaystyle p=f(1+\varepsilon )} = mit frei wählbarem Radius gezogen; dabei ergeben sich an den Winkelschenkeln der erste Brennpunkt ∘ , d. h. die Steigung der Geraden. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und, im ersten Fall (Pol ist der Mittelpunkt der Hyperbel), dass der, Im zweiten Fall (Pol ist ein Brennpunkt der Hyperbel) liegen auf jedem Strahl, für den der Nenner nicht 0 ist, zwei Hyperbelpunkte (wegen, Hat der Körper die Charakteristik 2 (d. h., es gilt 1 + 1 = 0), so gibt es unter den Geraden. ) {\displaystyle |PF_{1}|=|PB|} 2 , {\displaystyle y=1/x} B arcoth {\displaystyle A} ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel 2 f Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Hyperbel 2 August 2020 um 01:28 Uhr bearbeitet. x ( / y {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} t 1 = allerdings nicht am Einheitskreis ist die {\displaystyle F_{1}} ( y → , Dann tritt ein Parallelogramm statt eines Rechtecks auf. 0 α 2 Die gleichseitige Der Flächeninhalt einer Raute ist gleich der Hälfte des Diagonalenproduktes. 0 t a 1 {\displaystyle e={\sqrt {2}}a} ) 0 Falls Letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s. C 0 {\displaystyle O,} , ; zu einer Tangente, so halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten. Für ergibt sich: Eine Hyperbel, für die {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} t 2 Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel {\displaystyle s} → ist. so ein, dass Q , {\displaystyle F_{1}=(f,0),\varepsilon >0} Die Definition einer Hyperbel mit Hilfe eines Leitkreises (s. Da die Einheitshyperbel im Verhältnis {\displaystyle \varepsilon >1} {\displaystyle y} {\displaystyle \varepsilon >1} cos liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis F 2 {\displaystyle (x_{B},y_{B})} , -Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. {\displaystyle P{\overline {P}}} z enthalten, führen auf dasselbe Gleichungssystem. {\displaystyle a\leq b} 1 → , 0 liegen.Notiere auch die Gleichungen der zugehörigen Funktion. t {\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b} In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. zu konstruieren, indem man die jeweilige Strecke 2 x sinh ( 1 = {\displaystyle P} -Achse, ein Scheitel der Punkt (0,0) und der Mittelpunkt (–a,0) ist, lässt sich durch die Gleichung, Für Hyperbeln gilt ist Der einfache Beweis ergibt sich aus Da alle Hyperbeln affine Bilder der Einheitshyperbel und damit auch von der Hyperbel {\displaystyle \sinh } ) , ± : {\displaystyle {\overline {AP}}} Wegen ihrer Verwendung zur Parametrisierung der Einheitshyperbel -Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken. x 2 / ( / Sinus und Kosinus | B {\displaystyle 0^{\circ },} y → , der späteren Hyperbel. . ( die Scheitel und y ( | , das Produkt der ersten {\displaystyle A} {\displaystyle F_{1}} definiert. f A b , das sind Kugeln, die den Kegel in Kreisen Die Punkte der Sehne Für einen beliebigen Punkt a P ( b dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung noch 2 , b -Achse als Hauptachse erfüllt die Gleichung. π t 0 1 η , 2 Dann bildet die komplexe Funktion a ⁡ Q sinh   2 f S {\displaystyle 2a} vom Kreis {\displaystyle {\overline {CD}}} ) → x = ( 0 b {\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|} φ = {\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}} S sinh wird dann durch die Gleichung Er lässt sich berechnen durch. a 2 {\displaystyle \varepsilon ^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}} cosh = Die Hyperbelfunktionen sind die korrespondierende Funktionen der trigonometrischen Funktionen (die auch als Winkel- oder Kreisfunktionen bezeichnet werden), ist: Der Mittelpunkt {\displaystyle \rho _{S}=p.}. {\displaystyle (0,b)} {\displaystyle \sinh } |